Limit dan Kekontinuan

       Limit

•          Fungsi f(x) = (x2 – 1)/(x – 1) terdefinisi untuk x disekitar 1 tetapi tidak di x = 1. Pertanyaannya sekarang adalah: berapa nilai f(x) untuk x di sekitar 1?

•          Persisnya: jika x mendekati 1, maka f(x) akan mendekati bilangan apa? (Catat di sini bahwa ungkapan x mendekati 1 tidak mengharuskan x = 1.)

•          Untuk menjawab pertanyaan di atas, perhatikan tabel nilai f(x) pada halaman berikut. Tampak jelas bahwa f(x) mendekati 2 ketika x mendekati 1.

3.2. Limit Sepihak

•          Definisi 3.1. Limit Kiri

Jika x mendekati c dari kiri sehingga  f(x) mendekati L, maka kita tuliskan    lim  f(x) = L

                    x ® c^-

            (baca: limit kiri f(x) di c sama dengan L).

Ini berarti bahwa untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika c – δ < x < c, maka | f(x) – L | < ε.

• Definisi 3.2. Limit Kanan

Limit kanan f(x) di c didefinisikan secara analog, jika x mendekati c dari kanan sehingga f(x) mendekati L, maka ditulis

                        lim  f(x) = L

                        x ® c⁺

            ini berarti bahwa untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian

            hingga jika c < x < c + δ, maka | f(x) – L | < ε.

•      Contoh limit sepihak :

• Limit fungsi di suatu titik ada jika dan hanya jika limit kiri dan limit kanannya ada dan sama.
• Limit fungsi di titik tertentu tidak ada bila :

(a) limit kiri dan limit kanan ada, tetapi berbeda,          atau

            (b) limit kiri atau limit kanan tidak ada.

• Limit (kiri/kanan) f(x) di c tidak ada mungkin karena f(x) tak terbatas di sekitar c atau karena nilai f(x) berosilasi di sekitar c.
• Sebagai contoh, limit f(x) = 1/x di 0 tidak ada karena f(x) tak terbatas di sekitar 0 (lihat grafiknya pd h. 16).
• Sementara itu, limit g(x) = sin 1/x tidak ada di x = 0 karena berosilasi di sekitar x = 0.

3.3. Teori Dasar Limit

1.             lim k = k
2. lim x = c
3. lim k.f(x) =   k  lim f(x)
4. lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)

5.   lim [f(x).g(x)] = lim f(x) lim g(x)

6. lim [f(x)/g(x)] = lim f(x) / lim g(x), asalkan lim g(x) ≠ 0

7. lim [f(x)]ⁿ = [lim f(x)]ⁿ , n є N
8. lim [f(x)]^1/n  = [ lim f(x)]^1/n, asalkan lim f(x) > 0 bila n genap
9. Jika lim f(x) ada maka nilainya tunggal
10. Teori Apit.

            Misalkan f, g, dan h fungsi-fungsi sehingga   f(x) £ g(x) £ h(x) untuk semua x di dalam interval terbuka yang memuat c, kecuali mungkin di c.

            Jika  lim  f(x) =  lim h(x)  = L, maka  lim g(x) = L

Catatan : lim berarti lim untuk x ® c

3.4 Limit Tak Hingga

•    Perhatikan lim (1/x²)   untuk x ® 0. Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai 1/x² diberikan pada tabel berikut ini.

• Dari tabel terlihat bahwa jika nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai (1/x²) semakin besar, bahkan akan menjadi besar tak terbatas bila x mendekati 0 dari sisi kiri maupun kanan.
• Dalam hal ini dikatakan limit tak hingga ditulis 

                      lim     f(x) = ¥                                    x ® 0

•          Definisi 3.3.

                        (i).  lim  f(x) = ¥ 

                 x ® c

jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x ¹          c , maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah                   positif.

                        (ii). lim  f(x) = - ¥

                 x ® c

jika untuk setiap x cukup dekat dengan c, tetapi x ¹         c, maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah negatif.

3.5 Limit Menuju Tak Hingga

•          Dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai  f(x) apabila nilai x cukup besar. Sebagai contoh, bagaimana nilai  1/x apabila nilai x cukup besar ?

•          Tabel berikut memperlihatkan nilai f  untuk berbagai nilai x. Ternyata semakin besar nilai x (arah positif), nilai  semakin kecil mendekati nol, dalam hal ini dikatakan

                        lim     f(x) = 0                       x® ¥

•                      Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negatip ternyata berakibat  f(x) mendekati nol, yaitu :     lim    f(x) = 0.

                                                                           x ® - ¥

•          Definisi 3.4.

            (i).   lim    f(x) = L

             x ® ¥

                        jika  terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah       positif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka  f(x) mendekati L.

            (ii).      lim   f(x) = L

             x ® - ¥

                        jika  terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah       negatif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah negatif)            maka  f(x) mendekati L.

3.6. Limit Fungsi Trigonometri

•          Dengan memanfaatkan Teorema Apit yang disajikan dalam Sub-Bab 3.3. ( Teori Dasar Limit) no. 10 , dapat ditunjukkan teorema di bawah ini :

•          Teorema 3.

            (i)       lim (sin x) / x     =      lim x / (sin x)   = 1

             x ® 0                          x ® 0

            (ii)          lim (tan x) / x     =      lim x / (tan x)   = 1

             x ® 0                          x ® 0

Kekontinuan

Definisi Fungsi Kontinu

•          Definisi : Fungsi f dikatakan kontinu di  jika 

                        a Î D_f   jika  lim   f(x) = f(a)

                             x ® a

•          Definisi di atas secara  implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi fkontinu di a, yaitu:     

                        (i)   f(a) ada atau terdefinisikan,

                        (ii)  lim f(x) ada, dan

                              x ® a

                        (iii) lim f(x) = f(a)

                              x ® a

•          Secara grafik, fungsi f kontinu di  jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak terpotong di titik (a, f(a)).

•          Jika fungsi f tidak kontinu di a maka dikatakan fungsi f diskontinu di a.

Sifat2 Dasar Fungsi Kontinu

Definisi 2 : Fungsi f dikatakan kontinu pada interval Ijika f kontinu di setiap titik anggota I..

Sifat-sifat dasar fungsi kontinu

Teorema 1.  Jika fungsi f dan g kontinu di a, dan k sebarang konstanta real, maka 

                        f+g,  f – g,  kf, dan  fg kontinu di a.

            Demikian pula,  f/g kontinu di a asalkan g(a) ¹ 0 .

•          Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu sisi, hal itu diberikan pada definisi berikut ini.

Definisi 3 : i) Fungsi f dikatakan kontinu dari kiri di a jika                                                  lim  f(x) = f(a)

                  x ® a^-

ii) Fungsi f dikatakan kontinu dari kanan di a jika                                    lim  f(x) = f(a)

                               x ® a⁺

Contoh 1.

(a). Fungsi f dengan rumus f(x) = (x²– 1)/ (x – 1)  diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi.

(b). Fungsi Heavyside H (x) diskontinu di x = 0, karena lim H(x) tidak

            ada untuk x ® 0

            c). Fungsi g dengan definisi:

                                (x²– 4) / (x – 2)        untuk x ¹ 2

            g(x) =

                                 1                              untuk x = 2

     diskontinu di x = 2, karena 1 = g(2) ¹  lim g(x)  = 4 untuk x ®2, akan tetapi g(x) kontinu di semua titik yang lain (x ¹ 2).

Contoh 2. Diberikan fungsi f(x) = Ö1 – x² , selidiki kekontinuan fungsi f.

Penyelesaian:

Jelas f tidak kontinu pada (- ¥, -1)  dan pada (1, ¥),  karena f tidak

terdefinisi pada interval tersebut.  Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1

diperoleh :    

Jadi, f kontinu pada (-1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan :

lim f(x) = 0 = f (- 1) dan lim f(x) = 0 = f (1), sehingga

x ® - 1⁺                                   x ® 1^-

f kontinu dari kanan di x= -1 dan kontinu dari kiri di x = 1.

Dengan demikian f kontinu pada [ - 1, 1].

Teorema 2.

Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi

eksponen, dan fungsi trigonometri kontinu pada domainnya masing-

masing.

       Contoh 3.

(a). Fungsi f(x) = x² – x + 1  kontinu pada R .

(b). Fungsi f(x) = (x³ – 5x) / (x² – 1)  kontinu pada

                         {x ÎR | x ¹ 1 atau x ¹ -1

(c). Fungsi f(x) = Öx – 1 kontinu pada [1, ¥).