Fungsi dan Grafik

Suatu pengaitan dari himpunan A ke  himpunan  B  disebut  fungsi bila  mengaitkan  setiap anggota dari  himpunan A  dengan tepat satu anggota dari  himpunan B.

Notasi   :         f : A ¾®B

x ¾®f(x) = y

Himpunan    A   disebut    Domain    /    daerah    asal    dari  f(x),   dinotasikan      Df     ,
 sedang

{y| f (x) = y , xÎA} Í B disebut Range / daerah hasil dari f(x) dinotasikan Rf . Beberapa macam fungsi dan sifat-sifat yang dimiliki akan dibahas berikut.

Fungsi Polinom

Bentuk umum fungsi polinom  order atau  pangkat  n ( n bilangan  bulat  positif  ) dinyatakan  oleh

f (x) =a0 +a1x +a2 x2 +...+an xn

dengan  an  ¹ 0 . Berikut bentuk khusus dari fungsi polinom, yaitu :

·      Fungsi konstan : f(x) = a0.

·      Fungsi Linear :f ( x) = a0 + a1x . ( f(x) = x : fungsi identitas )

·      Fungsi Kuadrat :  f ( x) = a0 +a1x +a2 x2

Misal f(x) merupakan fungsi polinom order n maka akan mempunyai paling banyak n buah pembuat nol yang berbeda. Untuk mendapatkan  pembuat nol  fungsi polinom dapat   digunakan aturan horner.

 Fungsi Rasional

Bentuk   umum   fungsi   rasional   adalah  dengan  p(x)  dan  q(x)  merupakan  fungsi

polinom.  Fungsi  rasional  f(x)  tidak  terdefinisi  pada  nilai   x   yang   menyebabkan   penyebut sama dengan nol atau q(x) = 0.  Sedangkan  pembuat  nol  dari  pembilang  atau  p(x)  tetapi bukan pembuat nol penyebut merupakan pembuat nol dari fungsi rasional f(x).

Contoh:

Tentukan nilai x yang menyebabkan fungsi  sama dengan nol

Jawab :

Permbuat nol pembilang, x = 2 dan x = 1.  Pembuat  nol  penyebut,  x =  -2  dan x = 2. Jadi  nilai x yang memenuhi adalah x =-2.

Fungsi  bernilai mutlak

Bentuk dasar fungsi bernilai mutlak dinyatakan oleh f(x) = | x |. Grafik fungsi f(x)  simetris  terhadap sumbu Y  dan  terletakdi  atasdan atau  pada  sumbu X.  Secara umum   fungsi bernilai mutlak dapat dinyatakan oleh :

Contoh :

Tentukan nilai x agar grafik fungsi  terletak di bawah garis y = 2.

Jawab :

 Dicari    nilai    x   yang    memenuhi  pertidaksamaan, Menggunakan sifat

pertidaksamaan nilai mutlak  didapatkan 

Sebab x2 + 3 definit positif yaitu selalu bernilai positif untuk setiap x real maka x2 – 1 < 0.

Sehingga nilai x yang memenuhi adalah –1 < x < 1 atau | x | < 1.

Fungsi  banyak aturan

Fungsi ini merupakan bentuk pengembangan dari fungsi bernilai mutlak, untuk fungsi

dengan dua aturan dinyatakan oleh:

 

Fungsi banyak aturan dapat dikembangkan sampai n buah fungsi fj(x) dengan j = 1,2,…,n.

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi f(x) disebut fungsi genap bila f(x) = f(-x) untuk setiap x di domain f(x) [ grafik f(x)

simetris terhadap sumbu y ]. Fungsi f(x) disebut fungsi ganjil bila f(x) = - f(-x) untuk

setiap x di domain f(x) [ grafik f(x) simetris terhadap titik pusat atau pusat sumbu ]. Bila

suatu fungsi bukan merupakan fungsi genap maka belum tentu merupakan fungsi ganjil.

Contoh :

Manakah diantara fungsi berikut yang merupakan fungsi genap, ganjil atau bukan

keduanya

Jawab :

Fungsi Trigonometri

Bentuk dasar dari fungsi trigonometri diberikan berikut

·  f(x) = sin x ; f(x) = csc x

·  f(x) = cos x ; f(x) = sec x

·  f(x) = tan x ; f(x) = cot x

Sedangkan beberapa persamaan atau identitas yang berlaku pada fungsi trigonometri

diberikan :

    1. sin (-x ) = - sin x

    2. cos ( -x ) = cos x

    3. tan ( -x ) = - tan x

    4. csc ( -x ) = - csc x

    5. sec ( -x ) = sec x

    6. cot ( -x ) = cot x

    7. sin ( p/2 - x ) = cos x

    8. cos ( p/2 - x ) = sin x

    9. tan ( p/2 - x ) = cot x

  10. sin ( x + y ) = sin x cos y + sin y cos x

  11. cos ( x + y ) = cos x cos y – sin x sin y

  12. sin ( x - y ) = sin x cos y – sin y cos x

  13. cos ( x - y ) = cos x cos y + sin x sin y

  14. sin 2x = 2 sin x cos x

  15. sin 2 x + cos2 x = 1

  16. cos 2x = 2 cos2x –1 = 1 – 2 sin2x

  17. 

  18.  

  19.  

Fungsi Periodik

Fungsi f(x) disebut fungsi periodik jika ada bilangan real positif p sehingga berlaku

f(x+p) = f(x) untuk setiap x di domain f(x). Nilai p terkecil disebut periode dari f(x).

Fungsi dasar trigonometri merupakan fungsi periodik dengan periode,

·  f(x) = sin x = sin ( x + 2p ) = f( x + 2p )

·  f(x) = cos x = cos ( x + 2p ) = f( x + 2p )

·  f(x) = tan x = tan ( x + p ) = f( x + p )

Translasi (Pergeseran)

Bila grafik fungsi f(x ) digeser ke kanan ( searah atau sejajar sumbu x ) sepanjang k maka

hasil pergeseran merupakan grafik dari fungsi f( x - k ). Bila grafik fungsi f(x) digeser ke

atas ( searah atau sejajar sumbu y ) sepanjang a maka hasil pergeseran merupakan grafik

fungsi f(x) + a.

Fungsi Komposisi

Komposisi dari fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai ( g o f ) ( x ) = g ( f (x) )

Sebagai catatan bahwa tidak semua fungsi dapat dilakukan komposisi. Agar dapat

dilakukan komposisi antara fungsi f dan g yaitu g o f maka syarat yang harus dipenuhi

adalah 

Sifat-sifat :